identidades trigonometricas: secciones conicas

Se denomina sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

β < α : Hipérbola (azul)
β = α : Parábola (verde)
β > α : Elipse (morado)
β = 90º : Circunferencia (rojo)
Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:
Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).
Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el plano será tangente al cono).
Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se cortan en el vértice. El ángulo formado por las rectas irá aumentando a medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el plano contenga al eje del cono (β = 0). Estas secciones degeneradas no se consideran secciones cónicas.

Expresión algebraica

Esquema de las cuatro secciones cónicas.
En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:
h² = ab : parábola.
h² < a =" b" h =" 0"> ab : hipérbola.
a + b = 0, la ecuación representará una hipérbola rectangular.